Définition de l'Ensemble de Mandelbrot
dans le Plan Complexe






Jean-François COLONNA
www.lactamme.polytechnique.fr
jean-francois.colonna@polytechnique.edu
CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641, Ecole Polytechnique, CNRS, 91128 Palaiseau Cedex, France
france telecom, France Telecom R&D

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/*************************************************************************************************************************************/
/*                                                                                                                                   */
/*        C A L C U L   D E   L ' E N S E M B L E   D E   M A N D E L B R O T    D A N S   U N E    F E N E T R E                    */
/*        D A N S   L E   P L A N   C O M P L E X E  :                                                                               */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*        Definition :                                                                                                               */
/*                                                                                                                                   */
/*                    Soit la suite :                                                                                                */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      Z    = 0                                                                                     */
/*                                       0                                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                                              2                                                                                    */
/*                                      Z    = Z  + C                                                                                */
/*                                       n+1    n                                                                                    */
/*                                                                                                                                   */
/*                  (ou 'C' designe le point courant).                                                                               */
/*                                                                                                                                   */
/*                    Si |Z | tend vers l'infini, 'C'                                                                                */
/*                         n                                                                                                         */
/*                  n'appartient pas a l'ensemble de Mandelbrot.                                                                     */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*        Forme generale :                                                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                  **                                                               */
/*                                                                *****                                                              */
/*                                                                *****                                                              */
/*                                                        *   * ********* *                                                          */
/*                                                        ******************* **                                                     */
/*                                                       **********************                                                      */
/*                                                     **************************                                                    */
/*                                                    ****************************                                                   */
/*                                        * *****    ****************************                                                    */
/*                                      ***********  *****************************                                                   */
/*                                      ************ ****************************                                                    */
/*                   *********************************************************                                                       */
/*                                      ************ ****************************                                                    */
/*                                      ***********  *****************************                                                   */
/*                                        * *****    ****************************                                                    */
/*                                                    ****************************                                                   */
/*                                                     **************************                                                    */
/*                                                       **********************                                                      */
/*                                                        ******************* **                                                     */
/*                                                        *   * ********* *                                                          */
/*                                                                *****                                                              */
/*                                                                *****                                                              */
/*                                                                  **                                                               */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*        Nota :                                                                                                                     */
/*                                                                                                                                   */
/*                    Nous verrons que l'on appelle                                                                                  */
/*                  Ensemble de Julia J  les ensembles                                                                               */
/*                                     A                                                                                             */
/*                  obtenus a partir des iterations                                                                                  */
/*                  suivantes :                                                                                                      */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      Z    = C                                                                                     */
/*                                       0                                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                  (ou 'C' designe le point courant),                                                                               */
/*                                                                                                                                   */
/*                                              2                                                                                    */
/*                                      Z    = Z  + A                                                                                */
/*                                       n+1    n                                                                                    */
/*                                                                                                                                   */
/*                  (ou 'A' designe un nombre complexe                                                                               */
/*                  Argument arbitraire, et parametre de l'ensemble).                                                                */
/*                                                                                                                                   */
/*                                                                                                                                   */
/*                    Si nous reecrivons la definition de                                                                            */
/*                  l'ensemble de Mandelbrot M (en remplacant                                                                        */
/*                  ('C' par 'A') :                                                                                                  */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      Z    = 0                                                                                     */
/*                                       0                                                                                           */
/*                                                                                                                                   */
/*                  (ce qui revient a faire C=0 ci-dessus, et donc                                                                   */
/*                  a se placer a l'origine),                                                                                        */
/*                                                                                                                                   */
/*                                              2                                                                                    */
/*                                      Z    = Z  + A                                                                                */
/*                                       n+1    n                                                                                    */
/*                                                                                                                                   */
/*                  (ou 'A' designe le point courant),                                                                               */
/*                                                                                                                                   */
/*                  nous voyons que calculer M, c'est calculer                                                                       */
/*                  en chaque point 'A' l'ensemble de Julia                                                                          */
/*                  J (origine) a l'origine :                                                                                        */
/*                   A                                                                                                               */
/*                                                                                                                                   */
/*                                      M(A) <==> J (origine)                                                                        */
/*                                                 A                                                                                 */
/*                                                                                                                                   */
/*                  or pour que J  soit connexe, il faut et il                                                                       */
/*                               A                                                                                                   */
/*                  suffit que l'origine appartienne a J . Donc                                                                      */
/*                                                      A                                                                            */
/*                  M definit l'ensemble des J  connexes, puisque                                                                    */
/*                                            A                                                                                      */
/*                  pour M, la suite Z  reste bornee.                                                                                */
/*                                    n                                                                                              */
/*                                                                                                                                   */
/*************************************************************************************************************************************/


(Nota : les lignes d'explications qui précédent sont des commentaires extraits des programmes ayant été utilisés pour calculer les images correspondantes. Ce programme en est un exemple parmi des centaines.)


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