The four first power sets {P(E),P(P(E)),P(P(P(E))),P(P(P(P(E))))} of a one-element set E [Les quatre premiers ensembles des parties {P(E),P(P(E)),P(P(P(E))),P(P(P(P(E))))} d'un ensemble E à un élément].

The so-called power power set P(E) of a set E is the set of all subsets of E (including the empty set {} as well as E itself).
```                                      cardinal(E)
cardinal(P(E)) = 2
```

The five first power sets of the one-element set E (cardinal(E)=1) and their cardinals:
```
Set :                                   Set of subsets :
[Ensemble] :                            [Ensemble des sous-ensembles] :
0
P (E) = E                              1 element
:
:
:
-------
:
:
:
1                             1
P (E) = P(E)                  2      = 2 elements     (Red, bottom left)
:                                                            {A}                                -->  {} {A}
:                                                             _                                      \____/
:                                                             1                                         2
-------
:
:
:
2                             2
P (E) = P(P(E))               2      = 4 elements     (Green, bottom right)
:                                                            {A,B}                              -->  {} {A} {B} {A,B}
:                                                             \_/                                    \______________/
:                                                              2                                             4
-------
:
:
:
3                             4
P (E) = P(P(P(E)))            2      = 16 elements    (Yellow, top left)
:                                                            {A,B,C,D}                          -->  {} {A} {B} {C} {D} {A,B} {A,C} {A,D} {B,C} {B,D} {C,D} {A,B,C} {A,B,D} {A,C,D} {B,C,D} {A,B,C,D}
:                                                             \_____/                                \______________________________________________________________________________________________/
:                                                                4                                                                                  16
-------
:
:
:
4                             16
P (E) = P(P(P(P(E))))         2      = 65536 elements (White -some of them being hidden by the grey lines-, top right)
:                                                            {A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O,P}  -->  {} {A} {B} {C} {D} {E} {F} {G} {H} {I} {J} {K} {L} {M} {N} {O} {P} {A,B} {A,C} {A,D} {A,E} {A,F} {A,G} {A,H} {A,I} {A,J} {A,K} {A,L} {A,M} {A,N} {A,O} {A,P} {A,B,C} (...)
:                                                             \_____________________________/        \________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________/
:                                                                            16                                                                                                        65536
-------
:
:
:
5                             65536
P (E) = P(P(P(P(P(E)))))      2      = 2003529930406846464979072351560255750447825475569751419265016973710894059556311453089506130880933348
1010382343429072631818229493821188126688695063647615470291650418719163515879663472194429309279820843
0910485599057015931895963952486337236720300291696959215610876494888925409080591145703767520850020667
1563702366126359747144807111774815880914135742720967190151836282560618091458852699826141425030123391
1082736038437678764490432059603791244909057075603140350761625624760318637931264847037437829549756137
7098160461441330869211810248595915238019533103029216280016056867010565164675056803874152946384224484
5292537361442533614373729088303794601274724958414864915930647252015155693922628180691650796381064132
2753072671439981585088112926289011342377827055674210800700652839633221550778312142885516755540733451
0721311242739956298271976915005488390522380435704584819795639315785351001899200002414196370681355984
0464039472194016069517690156119726982337890017641517190051133466306898140219383481435426387306539552
9696913880241581618595611006403621197961018595348027871672001226046424923851113934004643516238675670
7874525946467090388654774348321789701276445552940909202195958575162297333357615955239488529757995402
8471943529913543763705986928913757153740001986394332464890052543106629669165243419174691389632476560
2894151997754777031380647813423095961909606545913008901888875880847336259560654448885014473357060588
1709016210849971452956834406197969056546981363116205357936979140323632849623304642106613620022017578
7851857409162050489711781820400187282939943446186224328009837323764931814789848119452713007440220765
6809103762039992034920239066262644919091679854615157788390603977207592793788522412943010174580868622
6336928472585140303961555856433038545068865221311481363840838477826379045960718687672850976347127198
8890680478243230394718650525660978150729861141430305816927924971409161059417185352275887504477592218
3011587807019755357222414000195481020056617735897814995323252085897534635470077866904064290167638081
6174055040511767009367320280454933902799249186730653993164072049223847481528061916690093380573212081
6350707634351669869625020969023162859350071874190579161241536897514808261904847946571736601005892476
6554458408383347905441448176842553272073155863493476051374197795251903650321980201087647383686825310
2518337753390886142618480037400808223810407646887847164755294532694766170042446106331123802113458869
4532200116564076327023074292426051582811070387018345324567635625951430032037432740780879056283663406
9650308442258559670392718694611585137933864756997485686700798239606043934788508616492603049450617434
1236582835214480672667684180708375486221140823657980296120002744132443843240233125740354501935242877
6430880232850855886089962774458164680857875115807014743763867976955049991643998284357290415378143438
8473034842619033888414940313661398542576355771053355802066221855770600825512888933322264362819848386
1323957067619140963853383237434375883085923372228464428799624560547693242899843265267737837317328806
3210753211238680604674708428051166488709084770291208161104912555598322366244868556651402684641209694
9825905655192161881043412268389962830716548685255369148502995396755039549383718534059000961874894739
9288043249637316575380367358671017578399481847179849824694806053208199606618343401247609663951977802
1441199752546704080608499344178256285092726523709898651539462193004607364507926212975917698293892367
0151709920915315678144397912484757062378046000099182933213068805700465914583872080880168874458355579
2625846512476308714856631352893416611749061752667149267217612833084527393646924458289257138887783905
6300482483799839692029222215486145902373478222682521639957440801727144146179559226175083889020074169
9262383002822862492841826712434057514241885699942723316069987129868827718206172144531425749440150661
3946316919762918150657974552623619122484806389003366907436598922634956411466550306296596019972063620
2603521917776740668777463549375318899587866282125469797102065747232721372918144666659421872003474508
9428309115351892711142871083761592223802766053278233516615551493693757784666701457179719012271178127
8045024002638475878833939681796295069079881712169068692953824852983002347606845411417813911064856023
6549754227497231007615131870024053910510913817843721791422528587432098524957878034683703337818421444
0171386881242499844186181292711985333153825673218704215306311977485352146709553346263366108646673322
9240987984925669110951614361860154890974024191350962304361219612816595051866602203071561368473236466
0868905014263913906515063908199378852318365059897299125404479443425166774299659811849233151555272883
2740283526884424087528112832899806259126736995462473415433335001472314306127503903073971352520693381
7384332295070104906186753943313078479801565513038475815568523621801041965025559618193498631591323303
6096461905990236112681196023441843363334594927631946101716652913823717182394299216272538461776065694
5422978770713831988170369645886898118632109769003557358846244648357062914530527571012788720279653644
7972402540544813274839179412882642383517194919720979714593688753719872913083173803391101612854741537
7377715951728084111627597186384924222802373441925469991983672192131287035585307966942713416391033882
7543186136434901009431974090473310144762998617254244233556122374357158259333828049862438924982227807
1595176275784710947511903348224141202518268871372819310425347819612844017647953150505711072297431456
9915223451643121848657575786528197564843508958384722923534559464521215831657751471298708225909292655
6388366511206819438369041162526687100445602437042006637090019411855571604720446436969328500600469281
4050711906926139399390273553454556747031490388602202463994826050176243196930564066636662609020704888
7438898907498152865444381862917382901051820869936382661868303915273264581286782806601337500096593364
6251460917231803129303478774212346791184547913111098977946482169225056293999567934838016991574397005
3754213448587458685604728675106542334189383909911058646559511364606105515683854121745980180713316361
2573079611168343863767667307354583494789788316330129240800836356825939157113130978030516441716682518
3465736759341980849589479409832925000863897785634946932124734261030627137450772861569225966285738579
0553324064184901845132828463270926975383086730840914224765947443997334813081098639941737978965701068
7026734161967196591599588537834822988270125605842365589539690306474965584147981310997157542043256395
7760704851008815782914082507777385597901291294073094627859445058594122731948127532251523248015034665
1904822896140664689030510251091623777044848623022948896671138055560795662073244937337402783676730020
3011615227008921843515652121379215748206859356920790214502277133099987729459596952817044582181956080
9658117027980626698912050615607423256868422713062950098644218534708104071289176469065508361299166947
7802382250278966784348919940965736170458678624255400694251669397929262471452494540885842272615375526
0071904336329196375777502176005195800693847635789586878489536872122898557806826518192703632099480155
8744555751753127364714212955364940843855866152080121150790750685533444892586932838596530132720469706
9457154695935365857178889486233329246520273585318853337094845540333656535698817258252891805663548836
3743793348411845580168331827676834646291995605513470039147876808640322629616641560667508153710646723
1084619642475374905537448053182260027102164009805844975260230356400380834720531499411729657367850664
2140084269649710324191918212121320693976914392336837470922826773870813223668008692470349158684099115
3098315412063566123187504305467536983230827966457417620806593177265685841681837966106144963432544111
7069417002226578173583512598210807691019610522292638797450490192543119006205619065774524161919131875
3398404934397682331029846589331837301580959252282920682086223033258528011926649631444131644277300323
7792274712330696417149945532261035475145631290668854345426869788447742981777493710117614651624183616
6802548152963353084908499430067636548061029400946937506098455885580439704859144495844450799784970455
8355068540874516331646411808312307970438984919050658758642581073842242059119194167418249045270028826
3983057950057341711487031187142834184499153456702915280104485145176055306971441761368582384102787659
3246626899784183196203122624211773914772080048835783335692045339359532545648970285585897355057512351
2953654050284208102278524877660357424636667314868027948605244578267362623085297826505711462484659591
4210278122788941448163994973881884622768244851622051817076722169863265701654316919742651230041757329
9044735376725368457927543654128265535818580468400693677186050200705472475484008055304249518544952672
4726134731817474218007857469346544713603697588411802940803961674694628854067917213860122541950381970
4538417268006398820656328792839582708510919958839448297775647152026132871089526163417707151642899487
9535648545535531487549781340099648544986358248476905900331169613037661279234643231297066284113074270
4620203201336835038542536031363676357521260470742531120923340283748294945310472741896928727557202761
5272268283376741393425652653283068469997597097750005560889932685025049212884068274139881631540456490
3507758716800740556857240217586854390532281337707074158307562696283169556874240605277264858530506113
5638485196591896864959633556821697543762143077866593473045016482243296489127070989807667662567151726
9062058815549666382573829274182082278960684488222983394816670984039024283514306813767253460126007269
2629694686727507943461904399966189796119287505194423564026443032717373415912814960561683539881885694
8404534231142461355992527233006488162746672352375123431189344211888508507935816384899448754475633168
9213869675574302737953785262542329024881047181939037220666894702204258836895840939998453560948869946
8338525796751618821594109816249187418133647269651239806775619479125579574464714278686240537505761042
0426714936608498023827468057598259133100691994190465190653117190892607794911921794640735512963386452
3035673345588033313197080365457184791550432654899559705862888286866606618021882248602144999973122164
1381706534801755104384066244128228036166489042573776409563264828252584076690456084394903252905263375
3231650908768133661424239830953080654966187938194912003391948949406513239881664208008839555494223709
6734840072642705701165089075196155370186264797456381187856175457113400473810762763014953309735174180
6554791126609380343113785325328835333520249343659791293412848549709468263290758301930726653377825593
1433111096384805394085928398890779621047984791968687653998747709591278872747587443980677982496827827
2200926449944559380414608770641941810440758269805688038949654616587983904660587645341810289907194293
0217745199761044950431968415034555140448209289333786573630528306199900777487269229986082790531716918
7657886090894181705799340489021844155979109267686279659758395248392673488363474565168701616624064242
4241228961118010615682342539392180052483454723779219911228595914191877491793823340010078128326506710
2817813960291209147201009478787525512633728842223538694900679276645116347581011938753196572421214760
3828477477457170457861041738574791130190858387789015233434301300528279703858035981518292960030568261
2091950943737325454171056383887047528950563961029843641360935641632589408137981511693338619797339821
6707610046079800960160248230969430438069566201232136501405495862506152825880330229083858124784693157
2032323360189946943764772672187937682643182838260356452069946863021604887452842436359355862233350623
5945002890558581611275341783750455936126130852640828051213873177490200249552738734585956405160830583
0537707325339715526204447054295735383611136775231699727402929416742044232481138750756313190782721888
6405337469421384216992886294047963530515056078812636620649723125757901959887304119562622734372890051
6561111094111745277965482790471250581999077498063821559376885546498822938985408291325129076478386322
4947810167534916934892881042030156102833861438273781609463413353835783407653143214171506558775478202
5245478065730134227747061674424196895261316427410469547462148375628829977180418678508454696561915090
8695874251184435837306590951460980451247409411373899927822492983367796011015387096129749705566301637
3072027507347599229437923938244274211861582361613178863925530951171884212985083072382597291441422515
7940388301135908333165185823496722125962181250705811375949552502274727467436988713192667076929919908
4467161228738858457584622726573330753735572823951616964175198675012681745429323738294143824814377139
8619067166575729458078048205595118816871880752129718326364421553367877512747669407901170575098195750
8456356521738954417987507452385445520013357203333237989507439390531291821225525983379090946363020218
5353848854825062897715616963860712382771725621313460549401770413581731931763370136332252819127547191
4434509207118488383668181742633429496118700915030491653394647637177664391207983474946273978221715020
9067019030246976215127852195614207080646163137323651785397629209202550028896201297014137964003805573
4949269073535145961208674796547733692958773628635660143767964038430796864138563447801328261284589184
8985280480488441808216394239740143629034816654581144543664600324906187630395023564020445307482102413
6689519664422133920075747912868380517515063466256939193774028351207566626082989049187728783385217852
2792045771846965855278790447562192663992008409302075673925363735628390829817577902153202106409617373
2835984940666521411981838108845154597728951645721318977979074919410131483685446396169046070301075968
1893374121757598816512700076126278916951040631585763753478742007022205107089125761236165802680681585
8499852631465878086616800733264676830206391697203064894405628195406190685242003053463156621891327309
0696873531816410945142880366059952202482488867115544291047219291342483464387053685086487490991788126
7056566538719104972182004237149274016446094345984539253670613221061653308566202118896823400575267548
6101476993688738209584552211571923479686888160853631615862880150395949418529489227074410828207169303
3878180849362040182552222710109856534448172074707560192459155994310729495781978785905789400525401228
6751714251118435643718405356302418122547326609330271039796809106493927272268303541046763259135527968
3837705019855234621222858410557119921731717969804339317707750755627056047831779844447637560254637033
3692471142208155199736913719751632413027487121998634045482485245701185533426752647159783107312456634
2980522145549415625272402891533335434934121786203700726031527987077187249123449447714790952073476138
5425485311552773301030342476835865496093722324007154518129732692081058424090557725645803681462234493
1897081388971432998313476177996797124537823107037391514738786921191875667003193212818968033226965944
5928621060743882741691946516226763254066507088107103039417886056489376981673415902592519461182364294
5652669372203155504700213598846292758012527715422016629954863130324912311029627923723899766416803497
1412265279319076363261368141455163766565598397884893817330826687799019628869322965973799519316211872
1545528739417024366988559388879331674453336311954151840408828381519342123412282003095031334105070476
0159987985472529190665222479319715440331794836837373220821885773341623856441380700541913530245943913
5025545318864547962522602517629283743304651023610575835145507394433396102162296754614157811271970017
3861149427950141125328062125477581051297208846526315809480663368767014731073354071771087661593585681
4098212967730759197382973441445256688770855324570888958320993823432102718224114763732791357568615421
2528496579033350931527769255058456440105521926445053120737562877449981636463328358161403301758139673
5942732769044892036188038675495575180689005853292720149392350052584514670698262854825788326739873522
0457228239290207144822219885587102896991935873074277815159757620764023951243860202032596596250212578
3499577100856263861182338133185090146865770640106762786175837727728958927460394039303372718738505369
1295712671506689668849388088514294360996201296675907922508227531381284985152690293170026313632894209
5797577959327635531162066753488651317323872438748063513314512644889967589828812925480076425186586490
2411111273013571971813816025831785069322440079986566353715440884548663931817083957357807990597308390
9488180406093595919090747396090441015051632174968141210076571917748376735575100073361692238653742907
9457803200042337452807566153042929014495780629634138383551783599764708851349004856973697965238695845
9945955920907090589568914511414126845054621179450266117501669282602509507707782119504326173832235624
3760177679936279609936897519139496503335850715541843645685261667424368892037103749532842592713161053
7834980740739158633817967658425258036737206469351248652238481341663808061505704829059890696451936440
0185971204257230073164100099169875242603773621777634306216167448849308109299010095179745415642512048
2208671458684925513244426677712786372821133153622430109182439124338021404624222334915355951689081628
8487989988273630445372432174280215755777967021666317047969728172483392841015642274507271779269399929
7403080727703950135815451424940490265361058254093731146531049433824843797186069372144446008267980024
7122948940576185389220342560830269705287662137737359439422411470707407290272546130735854174569141944
6487624357682397065703184168467540733466346293673983620004041400714054277632480132742202685393698869
7876070095900486846506267713630709798210065572851013066010107806337433447730734786538817426812307437
6606664331277535646657860371519292276844045827328324380821284121877613204246046490080105473142674926
0826922155637405486241717031027919996942645620955619816454547662045022411449404749349832206807191352
7679867478134582038595704134661779372285349400316315995440936840895725334387029867178297703733328068
0176463950209002394193149911500910527682111951099906316615031158558283558260717941005252858361136996
1303442790173811787412061288182062023263849861515656451230047792967563618345768105043341769543067538
0411139285537925292413473394810505320257087281863072911589113359420147618726642915640363719276023062
8384065042544174233546454998705531872688792642410214736369862546374715974435494344389973005174252511
0877357886390946812096673428152585919924857640488055071329814299359911463239919113959926752576359007
4465728101918058418073422277347213977232182317717169164001088261125490933611867805757223910181861685
4910850088527227437421208652485237245624869766224538481929867112945294551549703058591930719849710541
4181636968976131126744027009648667545934567059936995464500558921628047976365686133316563907395703272
0343891754152675009150111988568727088481955316769316812728921430313768180164454773675183534978579242
7646335416243360112596025210950161226411034608346564823559793427405686884922445874549377675212032470
3803035491157544831295275891939893680876327685438769557694881422844311998595700727521393176837831770
3391304230609589991373146845690104220951619670705064202567338734461156552761759927271518776600102389
4476053978951694570880272873622512107622409181006670088347473760515628553394356584375627124124445765
1663064085939507947550920463932245202535463634444791755661725962187199279186575490857852950012840229
0350615149373101070094461510116137124237614267225417320559592027821293257259471464172249773213163818
4532655527960427054187149623658525245864893325414506264233788565146467060429856478196846159366328895
4299780722542264790400616019751975007460545150060291806638271497016110987951336633771378434416194053
1214452918551801365755586676150193730296919320761200092550650815832755084993407687972523699870235679
3102680413674571895664143185267905471716996299036301554564509004480278905570196832831363071899769915
3166679208958768572290600915472919636381673596673959975710326015571920237348580521128117458610065152
5988838431145118948805521291457756991465775300413847171245779650481758563950728953375397558220877775
06072339445587895905719156736 elements
```

Obviously P5(E)=P(P(P(P(P(E))))) is so huge (~2x1019728) it cannot be displayed! No hope for P6(E), P7(E), P8(E),... But in fact they are not so huge compared to the ones that follow...

(CMAP28 WWW site: this page was created on 10/23/2017 and last updated on 01/19/2024 14:36:16 -CET-)

[See all related pictures (including this one) [Voir toutes les images associées (incluant celle-ci)]]

[Please visit the related ImagesDidactiques picture gallery [Visitez la galerie d'images ImagesDidactiques associée]]
[Please visit the related NumberTheory picture gallery [Visitez la galerie d'images NumberTheory associée]]

[Go back to AVirtualMachineForExploringSpaceTimeAndBeyond [Retour à AVirtualMachineForExploringSpaceTimeAndBeyond]]

[The Y2K Bug [Le bug de l'an 2000]]

[Site Map, Help and Search [Plan du Site, Aide et Recherche]]
[Mail [Courrier]]
[About Pictures and Animations [A Propos des Images et des Animations]]