/*************************************************************************************************************************************/ /* */ /* D E F I N I T I O N D E S N O M B R E S H Y P E R - H Y P E R - C O M P L E X E S */ /* ( O U " O C T O N I O N S " ) : */ /* */ /* */ /* Definition : */ /* */ /* Soit 'Q' le corps des nombres Hyper-Complexes (ou "quaternions"), */ /* le corps 'O' des nombres Hyper-Hyper-Complexes (ou "octonions" ou */ /* encore "octaves" de Cayley) peut alors se definir par : */ /* */ /* O = (Q.1) + (Q.s) */ /* */ /* la conjugaison '-' pouvant se definir par : */ /* */ /* - - */ /* O = (Q.1) - (Q.s) */ /* */ /* avec : */ /* */ /* 2 */ /* s = -1 */ /* */ /* j.s = -s.j ('j' definissant 'Q', et 's' definissant 'O') */ /* */ /* d'ou l'on tire ('1' etant l'element neutre de la multiplication dans 'R', 'C' et 'Q') : */ /* */ /* O = (Q.1) + (Q.s) */ /* O = (((C.1) + (C.j)).1) + (((C.1) + (C.j)).s) */ /* O = ((C.1).1) + ((C.j).1) + ((C.1).s) + ((C.j).s) */ /* = ((((R.1) + (R.i)).1).1) + ((((R.1) + (R.i)).j).1) + ((((R.1) + (R.i)).1).s) + ((((R.1) + (R.i)).j).s) */ /* = (((R.1).1).1) + (((R.i).1).1) + (((R.1).j).1) + (((R.i).j).1) + (((R.1).1).s) + (((R.i).1).s) + (((R.1).j).s) + (((R.i).j).s) */ /* */ /* | | | | | | | | */ /* | | | | | | | | */ /* | | ------------- | | | | | */ /* | --------------------------- | | | | | | */ /* ----------------------------------------- | | | | | | | */ /* | | | | | | | | */ /* | | | | | | | | */ /* 1 = ((1).1).1 <- | | | | | | | */ /* i = ((i).1).1 <--- | | | | | | */ /* j = ((1).j).1 <----- | | | | | */ /* k = ((i).j).1 <------- | | | | */ /* | | | | */ /* s = ((1).1).s <----------------------- | | | */ /* t = ((i).1).s <--------------------------------------- | | */ /* u = ((1).j).s <------------------------------------------------------- | */ /* v = ((i).j).s <----------------------------------------------------------------------- */ /* */ /* d'ou, avec k = (i).j : */ /* */ /* 1 = 1.1 */ /* i = i.1 */ /* j = j.1 */ /* k = k.1 */ /* */ /* s = 1.s */ /* t = i.s */ /* u = j.s */ /* v = k.s */ /* */ /* | | */ /* | | */ /* | --------> (1,s) definit 'O' */ /* ----------> (1,i,j,k) est la base de 'Q' */ /* */ /* */ /* Notation : */ /* */ /* Un octonion 'o' est compose d'une partie reelle 'a' */ /* et de sept parties parties imaginaires 'b', 'c', 'd', */ /* 'e' 'f', 'g' et 'h' ; on le notera : */ /* */ /* o = (a,b,c,d,e,f,g,h) */ /* */ /* ou : */ /* */ /* o = a.1 + b.i + c.j + d.k + e.s + f.t + g.u + h.v */ /* */ /* ou : */ /* */ /* o = a + b.i + c.j + d.k + e.s + f.t + g.u + h.v */ /* */ /* avec : */ /* */ /* 2 2 2 2 2 2 2 */ /* i = j = k = s = t = u = v = -1 */ /* */ /* i.j = -j.i */ /* j.k = -k.j */ /* k.i = -i.k */ /* */ /* etc, tous les produits de deux vecteurs de base distincts anticommutant (sauf avec '1')... */ /* */ /* */ /* on a donc la table de multiplication (v1.v2) : */ /* */ /* */ /* | | | | | | | | | */ /* + v1 | +1 | +i | +j | +k | +s | +t | +u | +v | */ /* + | | | | | | | | | */ /* + | | | | | | | | | */ /* v2 + | | | | | | | | | */ /* | | | | | | | | | */ /* ---------------|---------|---------|---------|---------| */ /* +1 | +1 +i | +j +k | +s +t | +u +v | */ /* ---------------| * | * | * | * | */ /* +i | +i -1 | -k +j | -t +s | +v -u | */ /* ---------------|---------|---------|---------|---------| */ /* +j | +j +k | -1 -i | -u -v | +s +t | */ /* ---------------| * | * | * | * | */ /* +k | +k -j | +i -1 | -v +u | -t +s | */ /* ---------------|---------|---------|---------|---------| */ /* +s | +s +t | +u +v | -1 -i | -j -k | */ /* ---------------| * | * | * | * | */ /* +t | +t -s | +v -u | +i -1 | +k -j | */ /* ---------------|---------|---------|---------|---------| */ /* +u | +u -v | -s +t | +j -k | -1 +i | */ /* ---------------| * | * | * | * | */ /* +v | +v +u | -t -s | +k +j | -i -1 | */ /* ------------------------------------------------------- */ /* */ /* */ /* (ce resultat a ete obtenu grace au programme 'v $xtKg/octonions$K') */ /* */ /* */ /* Le produit de deux octonions 'o1' et 'o2' se definit par : */ /* */ /* o1 = q11.1 + q12.s */ /* o2 = q21.1 + q22.s */ /* */ /* (ou 'q11', 'q12', 'q21' et 'q22' sont quatre quaternions) */ /* */ /* o1.o2 = (q11.1 + q12.s).(q21.1 + q22.s) */ /* */ /* --- --- */ /* o1.o2 = (q11.q21 - q22.q12).1 + (q22.q11 + q12.q21).s */ /* */ /* La multiplication n'est ni commutative, ni associative... */ /* */ /* */ /*************************************************************************************************************************************/